Saturday, July 13, 2013

Matematika Fungsi Komposisi



Mata Pelajaran                 :   Matematika
Uraian Materi Pelajaran :   Fungsi Komposisi

MATERI :
1.    Pengertian komposisi fungsi
Dari dua buah fungsi f (x) dan g (x) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).
Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu adalah :
a.    (f o g) (x) dibaca : f komposisi gx atau fgx
b.    (g o f) (x) dibaca : g komposisi fx atau gfx

1)    Misal fungsi
g : A à B ditentukan dengan y = g (x)
 f : B à C ditentukan dengan y = f (x)
Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan :
h (x) = (f o g) (x) = f (g(x))
2)    Misal fungsi
f : A à B ditentukan dengan y = f (x)
          g : B à C ditentukan dengan y = g (x)
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan :
h (x) = (g o f) (x) = g (f (x))

Contoh :
Misal fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus f (x) = 3x – 1 dan g (x) = 2x.
Tentukan :  a. (f o g) (x)     b.  (g o f) (x)


Jawab :
a.    (f o g) (x)   = f (g (x))
                   = f (2x)
                   = 3 (2x) – 1 = 6x – 1
b.    (g o f) (x)   = g (f (x))
                   = g (3x – 1)
                   = 2 (3x – 1) = 6x – 2
 
2.    Syarat Komposisi Fungsi
Contoh 1
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (2,3), (8,5)}
g : {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}
Tentukan :
a.    f o g                                    d.  (f o g) (2)
b.    g o f                                    e.  (g o f) (1)
c.    (f o g) (4)                            f.  (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g digambarkan dalam diagram panah (pemetaan).
a.    (f o g) = {(3,5), (4,6), (5,4), (6,3)}
g                       f





                               (f o g)



 


b.    (g o f) = {(-1,1), (1,2), (2,8), (8,-1)}
f                        g





                               (g o f)
c.    (f o g) (4) = 6
d.    (f o g) (2) tidak didefinisikan
e.    (g o f) (1) = 2
f.     (g o f) (4) tidak didefinisikan
Contoh 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut
f : {(0,1), (2,4), (3,-1), (4,5)}
g : {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukan : a) f o g         b) g o f
g
 
f
 
Jawab :
                                    



                                       Dg                      Rg                               Df                       Rf
                                                                  
                                                                                             (f o g)
                 f                                  g




   Df   Rf                           Dg                       Rg
                                (g o f)
Dari contoh 1 dan 2 dapat disimpulkan syarat fungsi komposisi (f o g) adalah :
·         Hasil irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong.
Rg Ç Df ¹ f
·         Daerah asal fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g.
D(f o g) Í Dg
·         Daerah hasil fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi f.
R(f o g) Í Rf

Contoh :
Diketahui fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus :
f (x) = 2x + 1     dan     g (x) =
Tentukan :
a.    (f o g) (x)
b.    (g o f) (x)
c.    Daerah asal (f o g) (x) dan daerah hasil (f o g) (x)
d.    Daerah asal (g o f) (x) dan daerah hasil (g o f) (x)
Jawab :
f (x) = 2x + 1
Daerah asal Df : {x | x Î R} daerah hasil Rf : {y | y Î R}
g (x) =
Daerah asal Dg : {x | x ³ 0, x Î R}, daerah hasil Rg : {y | y ³ 0, y Î R}
a.    (f o g) (x) = f (g (x)) = f () = 2 + 1
b.    ( g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) =
c.    Daerah asal (f o g) (x) = D(f o g) = {x | x ³ 0, x Î R}
Daerah hasil (f o g) (x) = R(f o g) = {y | y ³ 1, y Î R}
Tampak bahwa D(f o g) = Dg  dan R(f o g) Ì Rf
d.    Daerah asal (g o f) (x) = D(g o f) = {x | x ³ ½ , x Î R}
Daerah hasil (g o f) (x) = R(g o f) = {y | y ³ o, y Î R}
Tampak bahwa D(g of) Ì Df   dan   R(g o f) = Rg

Latihan 5

1.    Fungsi f dan g berikut adalah pemetaan dari R ke R. Tentukan rumus untuk fungsi komposisi (f o g) (x) dan (g o f) (x).
a.    f (x) = 4x – 2 dan g (x) = x2
b.    f (x) = 5x + 2 dan g (x) = 4 – 2x
c.    f (x) = x2 + x dan g (x) = x – 1
d.    f (x) = x3 + x dan g (x) = 2x2
2.    Fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut
f : {(2,-2), (4,-3), (5,0), (7,-1)}
g : {(-3,2), (-2,4), (-1,5), (0,7)}
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan terurut
a.    f o g                           d.  f o g (6)
b.    g o f                           e.  g o f (-3)
c.    f o g (5)                     f.  g o f (0)
3.    Fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus :
f (x) = x2 + 3  dan  g (x) =
a.    Tentukan daerah asal fungsi f dan fungsi g
b.    Tentukan rumus (f o g) (x) dan (g o f) (x)
c.    Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi (f o g) (x)
d.    Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi (g o f) (x)
4.    Diketahui fungsi f : R à R ditentukan dengan rumus
f (x) =     2x2 – 1  , jika x £ 1
                       5x  , jika x > 1
Hitung f (-2), f (-1), f (0), f (1) dan f (2)
Hitunglah (f o f) (-2), (f o f) (-1) dan (f o f) (2)

5.    Fungsi f dan g adalah fungsi dari R ke R ditentukan dengan rumus
f (x) =   dan  f (x) =
Tentukan :
a.    (f o g) (x)
b.    (g o f) (x)
c.    (f o g) (3)
d.    (g o f) (4)


Uraian Materi Pelajaran :   -  Sifat-sifat komposisi fungsi
                                                -  Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan
                                                   fungsi lain diketahui

MATERI :
A. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi dapat disimpulkan dengan menggunakan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1

Fungsi f : R à R ditentukan oleh rumus f (x) = 3x – 5 dan g (x) = 2x2 – 1

Tentukan :

a.   (f o g) (x)  dan  (g o f) (x)

b.   dari hasil di atas apakah (f o g) (x) = (g o f) (x) ?

Jawab :

a.   (f o g) (x) = ……

(g o f) (x) = ……

b.   (f o g) (x) ………… (g o f) (x)

Kesimpulan :   ………….


Contoh 2

Fungsi f : R à R dan g : R à R, h : R à R ditentukan dengan rumus :

f (x) = x + 1 , g (x) = 3x  dan  h (x) = x2

Tentukan :

a.   ((f o g) o h) (x)  dan  (f o (g o h)) (x)

b.   Dari hasil di atas apakah (f o g) o h (x)  =  f o ( g o h) (x) ?


Jawab :

a.   Misal k (x) =  (f o g) (x) = f (g (x)) = ………

((f o g) o h) (x) = ( k o h) (x) = k (h (x)) = ………

Misal l (x) = (g o h) (x) = g (h (x)) = g (………) = ………

(f o (g o h)) (x) = (f o l) (x) = f (l (x)) = f (………) = ……

b.   ((f o g) oh) (x) …………. (f o (g o h)) (x)

 

Kesimpulan :

……………………………………………………….

……………………………………………………….

 

Contoh 3

Fungsi f : R à R dan I : R à R ditentukan dengan rumus f (x) = x2 – 2x + 1 dan I (x) = x

Tentukan :

a.   (f o I) (x)  dan  (I o f) (x)

b.   dari hasil di atas apakah (f o I) (x) = (I o f) (x) ?

Jawab :

a.   (f o I) (x) = f (I (x)) = f (………) = ………

(I o f) (x) = I (f (x)) = I (………) = ………

b.   (f o I) (x) ……………… (I o f) (x)

 

Kesimpulan :

       …………………………….
       …………………………….

Dari ketiga contoh di atas, beberapa sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi dapat disimpulkan sebagai berikut :
1.  Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya ……
           (f o g) (x) ……… (g o f) (x)

2.  Operasi komposisi pada fungsi bersifat ……

((f o g) o h) (x) ……… (f o (g o h)) (x)

3. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi ada sebuah unsur identitas yaitu fungsi identitas I (x) = x sehingga

(f o I) (x) ……… (I o f) (x) ……… f (x)

 

B. Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

Misal fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) sudah diketahui maka fungsi g dapat ditentukan, demikian juga fungsi g dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) diketahui maka fungsi f dapat ditentukan.

Contoh 1

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -2x + 3 dan f (x) = 2x + 1.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

   (f o g) (x)      = -2x + 3

      f (g (x))      = -2x + 3

2 (g (x)) + 1     = -2x + 3

        2 g (x)      = -2x + 2

           g (x)      =

           g (x)      = -x + 1

Jadi fungsi g (x) = -x + 1

 

Contoh 2

Diketahui fungsi komposisi (f o g) (x) = 4 – 2x dan fungsi g (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi f (x).

Jawab :

(f o g) (x) = 4 - 2x

   f (g (x)) = 4 – 2x

f (2x + 2) = 4 – 2x

f (2x + 2) = 4 – ((2x + 2) –2)

               = 4 – (2x + 2) + 2

f (2x + 2) = 6 – (2x + 2)

        f (x) = 6 – x 

 

 

Latihan 6

1.   Misal fungsi f, g dan h dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut :

f : {(-6,4), (3,3), (2,5), (8,1)}

g : {(-4,-6), (2,3), (3,2), (7,8)}

h : {(0,-4), (1,2), (2,3), (3,7)}

Tentukan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam bentuk pasangan terurut :

a.   (g o h)                 c.  (f o (g o h))

b.   (f o g)                  d.  ((f o g) o h)


2.   Diketahui fungsi f, g dan h adalah pemetaan dari R ke R ditentukan dengan rumus f (x) = , g (x) =  dan h (x) = 3x – 1.

Tentukan : a.  (f o (g o h)) (x)

                 b.  ((f o g) o h) (x)


3.   Tentukan rumus untuk fungsi g (x), jika diketahui :

a.   f (x) = 4x + 1  dan (f o g) (x) = x2 – x – 1

b.   f (x) = x2 – x + 4  dan (f o g) (x) = 3 – 2x 


4.   Tentukan rumus untuk fungsi f (x), jika diketahui

a.   g (x) = 2x + 1  dan  (f o g) (x) = x2 + x

b.   g (x) = x + 3  dan  (f o g) (x) = 2x – 4 


5.   Diketahui g (x) = 2 – x dan h (x) = x + 4 dan (f o (g o h)) (x) = x2 + 10x – 2, tentukan rumus untuk fungsi f (x).


No comments:

Post a Comment